Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D为三角形内一点，且△DBC为等边三角形．
（1）求证：直线AD垂直平分BC；
（2）以AB为一边，在AB的右侧画等边△ABE，连接DE，试判断以DA，DB，DE三条线段是否能构成直角三角形？请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据到线段两端点距离相等相等的点在线段的垂直平分线上进行证明；
（2）首先连接CE，然后证明△EBC≌△ABD，△ADB≌△ADC，再计算出∠ADB的度数，进而可得∠DCE=90°，可证明以DA，DB，DE三条线段能构成直角三角形．

解答：证明：（1）∵△DBC为等边三角形，
∴DB=DC，
∴D在BC的垂直平分线上，
∵AB=AC，
∴A在BC的垂直平分线上，
∴直线AD垂直平分BC；

（2）以DA，DB，DE三条线段能构成直角三角形；
理由：连接CE，
∵∠ABD=∠ABE-∠DBE=60°-∠DBE=∠DBC-∠DBE=∠EBC，
在△EBC和△ABD中，

AB=EB ∠ABD=∠EBC DB=CB

，
∴△EBC≌△ABD（SAS），
∴∠BCE=∠ADB，AD=CE，
在△ADB和△ADC中，

AD=AD AB=AC DB=DC

，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠ADB=∠ADC，
∴∠ADB=

1

2

（360°-∠BCD）=150°，
∴∠BCE=∠BDA=150°，
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=150°-60°=90°，
∵CE=DA，DC=DB，
∴以DA，DB，DE三条线段能构成直角三角形．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，关键是掌握全等三角形的性质定理与判定定理．