Question

5．如图，已知正方形ABCD的边长AB=2，点P是对角线BD上的一个动点，连接AP，并以AP为边在AP的右侧作正方形APMN．
（1）连接DN，判断BP、DN的数量和位置关系，并说明理由；
（2）连接BN，当BP=1时，求BN的长；
（3）证明：在P点运动过程中，点M始终在射线CD上．

Answer 1

分析 （1）结论PB=DN，欲证明PB=DN，只要证明△BAP≌△DAN即可．
（2）首先证明△BDN是RT△，在RT△BDN中理由勾股定理即可．
（3）分点M落在线段CD上或CD的延长线上两种情形讨论即可．

解答 解：（1）结论B=DN．
理由：如图1中，连接DN．

∵四边形ABCD、四边形APMN都是正方形，
∴AB=AD，AP=AN，∠BAD=∠PAN=90°，
∴∠BAP=∠DAN，
在△BAP和△DAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=DA}\\{∠BAP=∠DAN}\\{AP=AN}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△DAN，
∴PB=DN．

（2）如图2中，连接BN．

∵△BAP≌△DAN，
∴∠ABP=∠ADN=45°，BP=DN=1，
∵∠ADB=45°，
∴∠BDN=∠ADB+∠ADN=90°，
∵BD=2$\sqrt{2}$，
∴BN=$\sqrt{B{D}^{2}+D{N}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}}$=3．

（3）①如图3中，作AH⊥BD于H，MG⊥BD于G．

∵∠APH+∠MPG=90°，∠MPG+∠PMG=90°，
∴∠APH=∠PMG，∵∠AHP=∠PGM=90°，
∴△APH≌△PMG，
∴AH=PG，PH=MG，
∵AH=HD，
∴PG=DH，
∴PH=DG=GM，
∴∠GDM=45°，
∵∠DGC=45°，
∴点M在射线CD上．
②如图4中，作AH⊥BD于H，MG⊥BD于G．

∵∠APH+∠MPG=90°，∠MPG+∠PMG=90°，
∴∠APH=∠PMG，∵∠AHP=∠PGM=90°，
∴△APH≌△PMG，
∴AH=PG，PH=MG，
∵AH=HD，
∴PG=DH，
∴PH=DG=GM，
∴∠GDM=45°，
∵∠DGC=45°，
∴点M在射线CD上．
综上所述点M在射线CD上．

点评 本题考查三角形综合题、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．