Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，，点P在△ABC内，且PB=PC，点M是斜边AB上的中点，直线PM与边BC的交点为D（如图），点Q是直线PM上的一动点．
（1）试判断直线PM与AC的位置关系，并证明你的结论；
（2）当Q在△ABC的外部时，已知由点Q、B、D组成的三角形与△ABC相似，求QM的长；
（3）当Q不在△ABC的边上时，设BQ=x，△BQM的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式及函数的定义域．

Answer 1

解：（1）PM∥AC．理由如下：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB上的中点，
∴BM=CM，
又PB=PC，
∴PM垂直平分BC，
∴PM∥AC；

（2）①当点Q在DM的延长线上时，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，，
∴AC=3，BC=4．
要使△QBD∽△BAC，
则需，
即，
即QD=，
又DM=AC=1.5，
∴QM=QD-DM=；
②当点Q在MD的延长线上时，
若使△QBD∽△ABC，则，
即，
即QD=，
则QM=QD+DM=3；
若使△QBD∽△BAC，则，
即，
即QD=，
则QM=QD+DM=．

（3）当点Q在DM的延长线上时，
则QM=，
则y=（x＞2.5）；
当点Q在DM上时，则
y=QM=1.5-（2＜x＜2.5）；
当点Q在MD的延长线上时，
则y=QM=1.5+（x＞2）．
分析：（1）连接CM．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到BM=CM，结合PB=PC，可以根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，则PM垂直平分BC，从而PM∥AC；
（2）根据锐角三角函数的知识求得AC和BC的长，然后分三种情况考虑，再根据相似三角形的性质求解；
（3）要表示△BQM的面积，则以QM为底，高是2．根据勾股定理即可表示QM的长．
点评：此题综合考查了解直角三角形的知识、相似三角形的性质、直角三角形的性质等，综合性较强．