Question

19．如图，将边长为4的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，点B落在点B′处，折痕为GF，FH⊥BC于点H，FG=5
（1）求证；△GHF≌△EDA；
（2）求线段AF的长．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质得：FG⊥AE，证得∠GFH=90°-∠AFG=∠DAE，再证得四边形DCHF是矩形，得到FH=DC=AD，即可证得△GHF≌△EDA；
（2）由于△GHF≌△EDA，根据全等三角形的性质得到AE=FG=5，由勾股定理求得DE，由折叠的性质知：EF=AF=AD-FD，由勾股定理求得 FD，即可求得结论．

解答 （1）证明：由折叠的性质得：FG⊥AE，
∴∠GFH=90°-∠AFG=∠DAE，
∵正方形ABCD，
∴∠ADE=∠C=90°，AD=DC，
∵FH⊥BC，∴∠DFH=∠FHC=90°，
∴四边形DCHF是矩形，
∴FH=DC=AD，
在△GHF和△EDA中$\left\{\begin{array}{l}{∠GFH=∠DAE}\\{FH=AD}\\{∠FHG=ADE}\end{array}\right.$，
∴△GHF≌△EDA；

（2）解：∵△GHF≌△EDA，
∴AE=FG=5，
∴DE²=AE²-AD²=5²-4²=3²，
由折叠的性质知：EF=AF=AD-FD=4-FD，
由勾股定理得：EF²=FD²+DE²，
即（4-FD）²=FD²+3²，
解得：FD=$\frac{7}{8}$，
∴AF=AD-FD=4-$\frac{7}{8}$=$\frac{25}{8}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质和判定、正方形的性质、勾股定理的应用，证得△GHF≌△EDA是解题的关键．