Question

如图，已知：AB为⊙O的弦（非直径），E为AB的中点，EO的延长线与⊙O相交于C，CM∥AB，BO的延长线与⊙O相交于F，与CM相交于D．
①求证：EC⊥CD；
②当EO：OC=1：3，CD=4时，求⊙O的半径．

Answer 1

①证明：E为弦AB（非直径）的中点，O为圆心，
∴∠OEB=90°，
∵∠ECD=∠OEB=90°，
即EC⊥CD；

②解：∵CD∥AB，EO：OC=1：3，
∴，
设OC=BO=x，则OD=3x，又CD=4，
在Rt△OCD中，由OC²+CD²=OD²，x²+4²=（3x）²，
解得：x₁=，x₂=-（舍去），
∴BO=，
即⊙O的半径为．
分析：①根据垂径定理不难得出OE⊥AB．又有AB∥CM，由此便可证得；
②AB∥CD，不难得出EO：OC=1：3；然后用半径分别表示出OC，OD，CD，根据勾股定理来求出半径的值．
点评：本题主要考查了在圆内对垂径定理和勾股定理的综合运用．