Question

如图，已知以AB为直径的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，A、C 两点的坐标分别为A（﹣1，0）、C（0，3），直线DE交x轴交于点E（﹣，0）．
（1）求该圆的圆心坐标和直线DE的解析式；
（2）判断直线DE与圆的位置关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）如图，设圆心为F，圆的半径为r，连接CF，DF， ∵A（﹣1，0）、C（0，3）， ∴OC=3，OF=r﹣1，根据勾股定理得： CF2=OC2+OF2， 即r2=32+（r﹣1）2， 解得：r=5，r﹣1=4， ∴圆心坐标为（4，0）； 根据圆的对称性，点D的坐标为（0，﹣3）， 设直线DE的解析式为y=kx+b， 则， 解得， ∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣3； （2）直线DE与圆相切．理由如下： 如图，连接DF， 则OE=，OF=4，OD=3， ==，=， ∴=， 又∵∠DOF=∠DOE， ∴△DOE∽△FOD， ∴∠ODE=∠OFD， ∵∠OFD+∠ODF=90°， ∴∠ODE+∠ODF=90°， 即∠EDF=90°， ∴FD⊥ED， 又∵点D在圆上， ∴直线DE与圆相切．