Question

已知，如图所示，抛物线c₁：y=ax²+bx+c的顶点A在x轴的正半轴上，并与y轴交于点B，OA=，AB=，抛物线c₂与抛物线c₁关于y轴对称．

（1）求抛物线c₁的函数解析式，并直接写出抛物线c₂的函数解析式；

（2）设l是抛物线c₂的对称轴，P是l上的一点，求当△PAB的周长最小时点P的坐标；

（3）在抛物线c₁上是否存在点D，过点D作DC⊥AB于C，使得△DCB与△AOB相似？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】综合题．

【分析】（1）在Rt△OAB中OA=，AB=，求得OB的长，从而根据OA，OB得到点A，D坐标，点A坐标即为其顶点坐标，从而得到C₁，C₂C₁关于原点对称，从而得到C₂的顶点坐标，即其对称轴，从而得到C₂解析式．

（2）作BB′∥x轴交C₂于点B′则点B′即为点B关于l的对称点，连接AB′交l于点P即为所求点．先求得直线AB′，代入对称轴l的x值，从而进一步求得点P．

（3）设点设点D（x，），求得BD，求得直线AB，求得点D到直线AB的距离，若△DCB与△AOB相似，则或，代入求得的等式是否是否符合，符合则点D存在．

【解答】解：（1）∵在Rt△OAB中OA=，AB=，

∴OB=，

∴点A（，0），点B（0，3）．

则由，

解得：a=1，b=，c=3，

∴C₁的解析式为：y=x²﹣2x+3=．

则点A关于y轴的对称点为（，0），

相当于C₁向左平移了2个单位，

∴C₂的解析式为：；

 

（2）作BB′∥x轴交C₂于点B′则点B′即为点B关于l的对称点，连接AB′交l于点P即为所求点．

此时AB′即为△APB所形成三角形的最小周长．两点之间线段最短．

∵点A（，0），点B（0，3），

∴E（，0），

∴B′（﹣2，3），

则设直线AB′为y=kx+b，代入A，B′得：．

解得：k=，b=1，

∴直线AB′解析式为：y=，

代入对称轴x=﹣，则y=2，

∴点P（）；

 

（3）如图：存在，

知道点A，B设直线AB为y=mx+n，

代入解得：y=﹣x+3，即y+，

设点D（x，），则BD=，

则点D到直线的距离CD．

知道OA=，OB=3，AB=2，

若△DCB与△AOB相似，则或，

代入，

则点D（1，4﹣2），

检验点D符合，

代入，

则点D（3，12﹣6），

检验符合，

∴点D（1，4﹣2）或（3，12﹣6）．

【点评】本题考查了二次函数的综合运用，涉及到知道抛物线上的点求其解析式，求抛物线的对称轴，以及抛物线的平移．