Question

11．如图，四边形ABCD中，AD=3，CD=4，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为$\sqrt{34}$．

Answer 1

分析 根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．

解答 解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AD=AD′}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD=CD′．
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′=$\sqrt{A{D}^{2}+（AD′）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′=$\sqrt{C{D}^{2}+（DD′）^{2}}$=$\sqrt{34}$，
∴BD=CD′=$\sqrt{34}$，
故答案为：$\sqrt{34}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，作出全等图形是解题关键．