Question

已知a是不为1的有理数，我们把

1

1-a

称为a的差倒数，如：2的差倒数是

1

1-2

=-1．
现已知a₁=

1

2

，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）根据（1）的计算结果，请猜想并写出a₂₀₁₂•a₂₀₁₃•a₂₀₁₄的值；
（3）计算：a₁+a₂₊a3

+a₂₀₁₂+a₂₀₁₃．

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类,倒数

专题：新定义,规律型

分析：（1）由题意得：a₂=

1

1- 1 2

=2，a₃=

1

1-2

=-1，a₄=

1

1-(-1)

=

1

2

；
（2）从（1）的计算结果可以看出，从a₁开始，每三个数一循环，而2012÷3=670余2，则a₂₀₁₂=a₂=2，a₂₀₁₃=a₃=-1，a₂₀₁₄=a₁=

1

2

，然后计算a₂₀₁₂•a₂₀₁₃•a₂₀₁₄的值；
（3）由于a₁•a₂•a₃=a₄•a₅•a₆=…a₂₀₀₈•a₂₀₀₉•a₂₀₁₀=a₂₀₁₁•a₂₀₁₂•a₂₀₁₃=-1，把a₁•a₂•a₃…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂•a₂₀₁₃分成（a₁•a₂•a₃）•（a₄•a₅•a₆）…（a₂₀₀₈•a₂₀₀₉•a₂₀₁₀）•（a₂₀₁₁•a₂₀₁₂•a₂₀₁₃），然后代值计算即可．

解答：解：（1）a₁=

1

2

，a₂=

1

1- 1 2

=2，a₃=

1

1-2

=-1，a₄=

1

1-(-1)

=

1

2

；
（2）∵2012÷3=670余2，∴a₂₀₁₂=a₂=2，a₂₀₁₃=a₃=-1，a₂₀₁₄=a₁=

1

2

，∴a₂₀₁₂•a₂₀₁₃•a₂₀₁₄=2×（-1）×

1

2

=-1；
（3）∵a₁+a₂+a₃=a₄+a₅+a₆=…=a₂₀₀₈+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀=a₂₀₁₁+a₂₀₁₂+a₂₀₁₃=

3

2

，
∴a₁+a₂+a₃…a₂₀₁₀+a₂₀₁₁+a₂₀₁₂+a₂₀₁₃=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）…（a₂₀₀₈+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀）+（a₂₀₁₁+a₂₀₁₂+a₂₀₁₃）=

3

2

×671=1006

1

2

．

点评：此类问题考查了数字类的变化规律，解决的关键是要严格根据定义进行解答，同时注意分析循环的规律．