Question

7．已知，在平面直角坐标系中，点A（2015，0）、B（0，2013），以AB为斜边在直线AB下方作等腰直角△ABC，则点C的坐标为（1，-1）．

Answer 1

分析 如图设△CAB是等腰直角三角形，点C坐标（x，y），作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，先证明△ACE≌△BCF，推出四边形OECF是正方形，列出方程即可解决问题．

解答 解：如图设△CAB是等腰直角三角形，点C坐标（x，y），作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．

∵∠CEO=∠CFO=∠EOF=90°．
∴四边形OECF是矩形，
∴CE=OF，PF=OE，∠ECF=90°，
∵∠ECF=∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCF，
在△ACE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠BFC=90°}\\{∠ACE=∠BCF}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCF，
∴CE=CF，AE=BF，
∴四边形OECF是正方形，
∴x=-y，2013+x=2015-x，
∴x=1，y=-1，
∴点C坐标（1，-1）．
故答案为（1，-1）．

点评 本题考查等腰直角三角形、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，构建方程解决问题，属于中考常考题型．