Question

12．如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为A（4，4），且抛物线经过原点，和x轴相交于另一点B，以AB为一边在直线AB的右侧画正方形ABCD．
（1）求抛物线的解析式；  
（2）点C、D的坐标分别是（12，4）和（8，8）；
（3）能否将此抛物线沿着直线x=4平移，使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD的另两个顶点C、D？若能，写出平移后抛物线的解析式；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式，将原点坐标代入即可求出其解析式．
（2）根据抛物线的顶点A的坐标即可得出抛物线的对称轴为x=4，已知O、B关于抛物线的对称轴对称，那么B点的坐标为（8，0）．根据A（4，4）可得出∠AOB=45°，即△OAB为等腰直角三角形，因此O、A、D三点同线，直线BD与y轴平行，直线AC与x轴平行，因此D点坐标为（8，8），C点坐标为（12，4）；
（3）可先设出平移后抛物线的解析式，然后将D点坐标代入，即可求出平移后抛物线的解析式，再将C点坐标代入抛物线中进行验证即可；

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-4）²+4，
则有：a（0-4）²+4=0，
解得：a=-$\frac{1}{4}$．
∴y=-$\frac{1}{4}$（x-4）²+4；

（2）根据A（4，4）可知，∠AOB=45°，
∵AO=AB，
∴△AOB为等腰直角三角形．
∴∠OAB=90°，即O、A、D三点共线，
因此直线BD∥y轴，直线AC∥x轴，
则有：C（12，4），D（8，8）．

（3）设平移后的抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x-4）²+4+h（h＞0），
将C点坐标代入有：4=-$\frac{1}{4}$（12-4）²+4+h，
解得h=16
∴平移后抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x-4）²+20
当x=8时，y=12≠8，
因此不能使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD的另两个顶点C、D．

点评 此题主要考查了二次函数的平移以及等腰直角三角形和正方形的性质等知识，正确利用二次函数图象上点的坐标性质得出是解题关键．