Question

【题目】在菱形中，，点是对角线上一动点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，连接并延长，分别交、于点、．

（1）如图1，若且，求菱形的面积；

（2）如图2，求证：．

　　　　

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】

（1）连接，可得，进而得、、三点共线，点M是菱形的旋转中心，可得，结合旋转的性质可得，MQ=NQ，根据直角三角形的性质得，BM=4，进而即可求解；

（2）根据菱形的性质和旋转的性质以及SAS，可证，在上取点，使，可证，再证，即可得到结论．

（1）连接，如图1，

∵在菱形中，，

又∵，

∴、、三点共线，点M是菱形的旋转中心，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∵CM=CN，

∴，MQ=NQ，

∵，

∴，

∴，

∵∠MBC=∠ABC=30°，

∴BM=4，

∴菱形=32；

（2）四边形是菱形，

∴，，，，

∴，

由旋转的性质得：，，

∴，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴，，

在上取点，使，如图2，

在和中，

∵，

∴，

∴，，

∵，

∴∠DHN=∠CQN，

∴，

∴，

∴．