Question

【题目】如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，点E在AD上，∠BEC＝135°，若BC＝5，S△ECA＝2，则BD＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如图，延长BE交AC于F，作E关于BC的对称点E′，连接BE′，CE′，则△BE′C≌△BEC，得到∠BE′C＝∠BEC＝135，推出点A，B，E′，C四点共圆，根据圆周角定理得到∠E′BC＝∠E′AC，求得AF＝BF，得到EF＝FC，设EF＝FC＝x，BF＝AF＝y，解方程组得到y＝＝，求得BE＝y﹣x＝3，根据勾股定理得到AE＝＝5，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解：如图，延长BE交AC于F，作E关于BC的对称点E′，连接BE′，CE′，则△BE′C≌△BEC，

∴∠BE′C＝∠BEC＝135，

∵∠BAC＝45，

∴∠BAC+∠BE′C＝180，

∴点A，B，E′，C四点共圆，

∴∠E′BC＝∠E′AC，

∵∠EBC＝∠E′BC，

∴∠EBC＝∠E′AC，

∵∠BED＝∠AEF，

∴∠AFE＝∠ADB＝90，

∴AF＝BF，

∵∠FEC＝45，

∴EF＝FC，

设EF＝FC＝x，BF＝AF＝y，

∴，

解得：x＝（负值舍去），x＝4（不合题意舍去），

∴y＝＝，

∴BE＝y﹣x＝3，

∴AE＝＝5，

∵△BDE∽△AFE，

∴，

∴＝，

∴BD＝，

故答案为：．