Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．

（1）求证：DH是圆O的切线；

（2）若A为EH的中点，求的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB=∠OBD=∠ACB，则DH⊥OD，DH是圆O的切线；

（2）如图2，先证明∠E=∠B=∠C，则H是EC的中点，设AE=x，EC=4x，则AC=3x，由OD是△ABC的中位线，得：OD=AC=，证明△AEF∽△ODF，列比例式可得结论；

连接OD，如图1，

∵OB＝OD，

∴△ODB是等腰三角形，

∠OBD＝∠ODB①，

在△ABC中，∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB②，

由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，

∴OD∥AC，

∵DH⊥AC，

∴DH⊥OD，

∴DH是圆O的切线；

（2）如图2，

在⊙O中，∵∠E＝∠B，

∴由（1）可知：∠E＝∠B＝∠C，

∴△EDC是等腰三角形，

∵DH⊥AC，且点A是EH中点，

设AE＝x，EC＝4x，则AC＝3x，

连接AD，则在⊙O中，∠ADB＝90°，AD⊥BD，

∵AB＝AC，

∴D是BC的中点，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，OD＝AC＝×3x＝，

∵OD∥AC，

∴∠E＝∠ODF，

在△AEF和△ODF中，

∵∠E＝∠ODF，∠OFD＝∠AFE，

∴△AEF∽△ODF，

∴,

∴,

∴.