Question

4．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=-$\frac{1}{3}$（x-m）²+n的顶点P在直线y=-x+4上，与y轴交于点C（点P、C不与点B重合），以BC为边作矩形BCDE，且CD=2，点P、D在y轴的同侧．
（1）n=-m+4（用含m的代数式表示），点C的纵坐标是-$\frac{1}{3}$m²-m+4（用含m的代数式表示）；
（2）当点P在矩形BCDE的边DE上，且在第一象限时，求抛物线对应的函数解析式；
（3）直接写出矩形BCDE有两个顶点落在抛物线上时m的值．

Answer 1

分析 （1）由顶点P（m，n）在y=-x+4上得n=-m+4，求得当x=0时y=-$\frac{1}{3}$m²+n即可知点C纵坐标；
（2）由矩形的性质结合CD=2知即DE与AB的交点P的坐标为（2，2），即可得答案；
（3）①点C、D在抛物线上时，由CD=2可知对称轴为x=±1，即m=±1；②点C、E在抛物线上时，由B（0，4）和CD=2得E（-2，4），则4=-$\frac{1}{3}$（-2-m）²+（-m+4），解之可得答案．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{1}{3}$（x-m）²+n=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$mx-$\frac{1}{3}$m²+n，
∴顶点P（m，n），
∵P在直线y=-x+4上，
∴n=-m+4，
当x=0时，y=-$\frac{1}{3}$m²+n=-$\frac{1}{3}$m²-m+4，即点C的纵坐标为-$\frac{1}{3}$m²-m+4，
故答案为：-m+4，-$\frac{1}{3}$m²-m+4；

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴DE∥y轴，
∵CD=2，
∴当x=2时，y=2，即DE与AB的交点坐标为（2，2），
∴当点P在矩形BCDE的边DE上时，抛物线的顶点P的坐标为（2，2），
∴抛物线对应的函数解析式为y=-$\frac{1}{3}$（x-2）²+2；

（3）如图①②，点C、D在抛物线上时，由CD=2可知对称轴为x=±1，即m=±1；

如图③④，点C、E在抛物线上时，

由B（0，4）和CD=2得E（-2，4），
则4=-$\frac{1}{3}$（-2-m）²+（-m+4），
解得：m₁=$\frac{-7+\sqrt{33}}{2}$，m₂=$\frac{-7-\sqrt{33}}{2}$，
综上所述，m=1或-1或$\frac{-7+\sqrt{33}}{2}$或$\frac{-7-\sqrt{33}}{2}$．

点评 本题主要考查二次函数的综合运用能力，熟练掌握抛物线与直线相交的问题及矩形的性质是解题的关键．