Question

（2012•抚顺）如图，平行四边形ABCD的面积是16，对角线AC、BD相交于点O，点M₁、N₁、P₁分别为线段OD、DC、CO的中点，顺次连接M₁N₁、N₁ P₁、P₁M₁得到第一个△P₁M₁N₁，面积为S₁，分别取M₁N₁、N₁P₁、P₁M₁三边的中点P₂、M₂、N₂，得到第二个△P₂M₂N₂，面积记为S₂，如此继续下去得到第n个△P_nM_nN_n，面积记为S_n，则S_n-S_n-1=

-

12

4n

．（用含n的代数式表示，n≥2，n为整数）

Answer 1

分析：因为平行四边形ABCD被对角线所分的四个小三角形面积相等（等底同高证得），故S_△OCD=4．又M₁、N₁、P₁分别为各边中点，故将△OCD分为四个面积相等的三角形，S_△M1N1P1=4×

1

4

=1，依次往下，M2、N2、P2又将△M₁N₁P₁的面积分为相等四分，故S₂的面积可求，依此类推即可求出S_n和S_n-1的值，问题得解．

解答：解：∵平行四边形ABCD被对角线所分的四个小三角形面积相等，
∴S_△OCD=16×

1

4

=4，
∵M₁、N₁、P₁分别为各边中点，故将△OCD分为四个面积相等的三角形，
∴S_△M1N1P1=4×

1

4

=1，依次往下，M₂、N₂、P₂又将△M₁N₁P₁的面积分为相等四分，故S₂=S_△M2N2P2=

1

4

S_△M1N1P1=4×

1

4

×

1

4

=4×

1

42

，
依此类推…
∴S_n=4×

1

4n

，
∴S_n-1=4×

1

4n-1

，
∴S_n-S_n-1=4×

1

4n

-4×

1

4n-1

=-

12

4n

．
故答案为：-

12

4n

．

点评：本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积求法以及图形的面积有关的规律问题，解题的关键是找到问题的规律，有规律解决问题．