Question

（2012•抚顺）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°．点D是直线BC上的一个动点，连接AD，并以AD为边在AD的右侧作等边△ADE．
（1）如图①，当点E恰好在线段BC上时，请判断线段DE和BE的数量关系，并结合图①证明你的结论；
（2）当点E不在直线BC上时，连接BE，其它条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请结合图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论；
（3）若AC=3，点D在直线BC上移动的过程中，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是梯形？如果存在，直接写出线段CD的长度；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等边三角形的性质以及等腰三角形的判定解答即可；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，证得△ADC≌△AEF，结合直角三角形中30度的角所对的直角边是斜边的一半解决问题；
（3）从A、C、D、E为顶点的梯形的性质入手，逐步找出解决问题的方案．

解答：解：（1）DE=BE． 理由如下：
∵△ADE为等边三角形，
∴AD=DE=AE，∠AED=60°．
∵∠ABC=30°，∠AED=∠ABC+∠EAB，
∴∠EAB=60°-30°=30°，
∴∠ABC=∠EAB，
∴EB=AE，
∴EB=DE；

（2）如图，

过点E作EF⊥AB，垂足为F，
在△ABC中，∠ABC=30°，
∴∠CAB=60°，
∴∠DAE=∠CAB，
∴∠DAE-∠CAE=∠BAC-∠CAE，
则∠CAD=∠EAF．
又∵AD=AE，∠ACD=∠AFE，
∴△ADC≌△AEF，
∴AC=AF．
在△ABC中，∠ABC=30°，
∴AC=

1

2

AB，
∴AF=BF，
∴EA=EB，
∴DE=EB；

（3）如图，

∵四边形ACDE是梯形，∠ACD=90°，
∴∠CAE=90°．
∵∠CAE=∠CAD+∠EAD，
又在正三角形ADE中，∠EAD=60°，
∴∠CAD=30°．
在直角三角形ACD中，AC=3，∠CAD=30°，
由勾股定理可得CD=

3

．
若点D与点B重合，AC平行DE，此时CD=3

3

．

点评：此题综合考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，梯形的性质等知识点．