Question

10．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为2的圆上，顶点C、D在圆内，将正方形ABCD沿圆的内壁作无滑动的滚动．当滚动一周回到原位置时，点C运动的路径长为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$π
• B． （$\sqrt{2}$+1）π
• C． （$\sqrt{2}$+2）π
• D． （$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$+1）π

Answer 1

分析 作辅助线，首先求出∠D′AB的大小，进而求出旋转的角度，利用弧长公式问题即可解决．

解答 解：如图，分别连接OA、OB、OD′、OC、OC′；
∵OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=60°；
同理可证：∠OAD′=60°，
∴∠D′AB=120°；
∵∠D′AB′=90°，
∴∠BAB′=120°-90°=30°，
由旋转变换的性质可知∠C′AC=∠B′AB=30°；
∵四边形ABCD为正方形，且边长为2，
∴∠ABC=90°，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为：$\frac{30π×2\sqrt{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{2}π}{3}$．
以D或B为圆心滚动时，每次C点运动$\frac{π}{3}$，
以A做圆心滚动两次，以B和D做圆心滚动三次，所以总路径=$\frac{\sqrt{2}π}{3}$×2+$\frac{π}{3}$×3=（$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$+1）π．
故选：D．

点评 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及弧长公式的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确的求出旋转角的度数．