Question

19．如图，抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0），C（0.4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线第一象限上的点，求四边形PBOC的最大面积；
（3）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．

Answer 1

分析 （1）直接将点A（-1，0），C（0.4）两点代入抛物线解析式y=ax²+bx-4a，解得a，b，可得结果；
（2）由（1）的结果，可设点P的坐标是（x，-x²+3x+4）解得点B的坐标，利用梯形和三角形的面积公式可得四边形PBOC的面积，利用二次函数的最值可得最大面积；
（3）由点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上可得m的值，易得点D的坐标，可得∠OBC=45°，易得CD∥AB且CD=3，设点D关于直线BC的对称点为点E，可得点E在y轴上，且CE=CD=3，易得点E的坐标，即得结果．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-4a经过C（0.4），
∴-4a=4，
a=-1，
将A（-1，0）代入y=-x²+bx+4，得
-1-b+4=0，
∴b=3．
∴抛物线的解析式为y=-x²+3x+4；    

（2）由已知，可设点P的坐标是（x，-x²+3x+4）
如图1，作PH⊥x轴于H，则OH=x，PH=-x²+3x+4，
由（1），当-x²+3x+4=0时，解得x=-1或x=4，
∴点B的坐标是（4，0），∴OB=4；
∵点C的坐标是（0，4），∴OC=4．
∴S_{四边形PBOC}=S_{四边形PHOC}+S_△PHB=$\frac{1}{2}$（OC+PH）•OH$+\frac{1}{2}$PH•BH
=$\frac{1}{2}OC•OH$$+\frac{1}{2}$PH（OC+BH）=$\frac{1}{2}OC•OH$$+\frac{1}{2}PH•OB$
=$\frac{1}{2}×4x+\frac{1}{2}$（-x²+3x+4）×4
=-2x²+8x+8
=-2（x-2）²+16
∴当x=2时，四边形PBOC的最大面积是16；

（3）∵点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，
∴m+1=-m²+3m+4，
∴m²-2m-3=0，
∴m=-1或m=3．
∵点D在第一象限，
∴点D的坐标为（3，4），
如图2，由（1）知，OB=OC=4，
∴∠OBC=45°，
设点D关于直线BC的对称点为点E，
∵C（0，4），∴CD∥AB且CD=3，
∴∠ECB=∠DCB=45°，
∴点E在y轴上，且CE=CD=3，
∴OE=1，
∴点E的坐标为（0，1）．
即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）．

点评 本题主要考查了二次函数的最值及抛物线与x轴的交点，能够根据二次函数的解析式得出各点坐标是解答此题的关键．