Question

4．如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
求证：（1）CF=EB；
     （2）AB=AC+CF．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即CD=DE．再根据Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF=EB；
（2）利用角平分线性质证明∴△ADC≌△ADE，AC=AE，再将线段AC进行转化．

解答 解：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DF}\\{DC=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL），
∴CF=EB；
（2）在△ADC与△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=DE}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ADE（HL），
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+CF．

点评 本题主要考查平分线的性质，全等三角形的性质与判定，由已知能够注意到点D到AB的距离=点D到AC的距离，即CD=DE，是解答本题的关键．