Question

18．如图，在反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m为常数，且m＞0）第一象限内图象上取一点P₁，连接OP₁，过P₁作P₁A₁⊥x轴，垂足为A₁；在OA₁的延长线上截取A₁B₁=OA₁，过B₁作OP₁的平行线交反比例函数的图象于P₂，过P₂作P₂A₂⊥x轴，垂足为A₂；在OA₂的延长线上截取A₂B₂=B₁A₂，连接P₁B₁，P₂B₂，则$\frac{{B}_{1}{B}_{2}}{O{B}_{1}}$的值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$m
• C． （$\sqrt{2}$-1）m
• D． $\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 设P₁点的坐标为（a，$\frac{m}{a}$），P₂点的坐标为（b，$\frac{m}{b}$），由△OP₁B₁，△B₁P₂B₂均为等腰三角形，可得OA₁=a，OB₁=2a，B₁A₂=b-2a，B₁B₂=2（b-2a），由OP₁∥B₁P₂，易证得Rt△P₁OA₁∽Rt△P₂B₁A₂，然后由相似三角形的对应边成比例，求得a=（$\sqrt{2}$-1）b，继而求得答案．

解答 解：设P₁点的坐标为（a，$\frac{m}{a}$），P₂点的坐标为（b，$\frac{m}{b}$），
∵△OP₁B₁，△B₁P₂B₂均为等腰三角形，
∴A₁B₁=OA₁，A₂B₂=B₁A₂，
∴OA₁=a，OB₁=2a，B₁A₂=b-2a，B₁B₂=2（b-2a），
∵OP₁∥B₁P₂，
∴∠P₁OA₁=∠A₂B₁P₂，
∴Rt△P₁OA₁∽Rt△P₂B₁A₂，
∴OA₁：B₁A₂=P₁A₁：P₂A₂，
即a：（b-2a）=$\frac{m}{a}$：$\frac{m}{b}$，
整理得a²+2ab-b²=0，
解得：a=（$\sqrt{2}$-1）b或a=（-$\sqrt{2}$-1）b（舍去），
∴B₁B₂=2（b-2a）=（6-4$\sqrt{2}$）b，
∴$\frac{{B}_{1}{B}_{2}}{O{B}_{1}}$=$\frac{（6-4\sqrt{2}）b}{2（\sqrt{2}-1）b}$=$\sqrt{2}$-1．
故选：D．

点评 本题考查的是反比例函数的综合应用，掌握相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质是解题的关键，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．