Question

5．如图，AB是半圆O的直径，点C是$\widehat{AB}$的中点，点D是$\widehat{AC}$的中点，连接AC、BD交于点E，则$\frac{DE}{BE}$=（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{3}{16}$
• C． 1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$

Answer 1

分析 根据平行线的性质证得，△ADF是等腰直角三角形，求得BD=$\sqrt{2}$+1，再证△ADE∽△BDA，得ED=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1，BE=2．所以$\frac{DE}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

解答 解：连接AD、CD，作AF∥CD，交BE于F，
∵点D是弧AC的中点，
∴可设AD=CD=1，
根据平行线的性质得∠AFD=∠CDF=45°．
∴△ADF是等腰直角三角形，
则AF=$\sqrt{2}$，BF=AF=$\sqrt{2}$．
∴BD=$\sqrt{2}$+1．
∵∠DAC=∠ABD，∠ADB=∠ADB，
∴△ADE∽△BDA，
∴DE=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1，BE=2．
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．