Question

9．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AC边上一点，以BD为边作正方形BDEF．

（1）求证：AE⊥AB；
（2）如图2，P为正方形BDEF的对角线的中点，直线CP分别交BD、EF于M、N两点．
①求证：△BCM∽△PFN；
②若$\frac{DC}{AD}=\frac{2}{3}$，则$\frac{EN}{FN}$=$\frac{5}{2}$．（直接写出结果，不需要过程）

Answer 1

分析 （1）连接BE，由正方形的性质和等腰直角三角形的性质可得∠EBA=∠DBC，且$\frac{EB}{DB}$=$\frac{AB}{BC}$=$\sqrt{2}$，可证明△EBA∽△DBC，则可知AE⊥AB；
（2）①连接BE、AP，可证明PC垂直平分AB，可求得∠CBG=∠MCB=45°，再结合正方形的性质可得∠CMB=∠PNF，可证明△BCM∽△PFN；②在△BCD中，由角平分线的性质可得$\frac{BC}{CD}$=$\frac{BM}{DM}$，结合正方形的性质可知$\frac{BM}{DM}$=$\frac{EN}{FN}$，可求得答案．

解答 （1）证明：
如图1，连接BE，

在正方形EDBF中，ED=BD，∠EBD=45°，
在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ABC=45°，
∴∠EBA=∠DBC，且$\frac{EB}{DB}$=$\frac{AB}{BC}$=$\sqrt{2}$，
∴△EBA∽△DBC，
∴∠EAB=∠DCB=90°，
∴AE⊥AB；
（2）①证明：
如图2，连接BE、AP，

∵在正方形BDEF中，DF、BE互相平分，
∴BE过点P，
由（1）知∠EAB=90°，则在Rt△EAB中，点P为BE中点，
∴AP=BP，
∵AC=BC，
∴PC垂直平分AB，
∴∠CGB=90°，
∵∠CBG=45°，
∴∠MCB=45°，
∵在正方形BDEF中，BD∥EF，
∴∠CMB=∠PNF，
∵∠BCM=∠PFN=45°，∠CMB=∠PNF，
∴△BCM∽△PFN；
②由①可知CM平分∠DCB，
∴$\frac{BC}{CD}$=$\frac{BM}{DM}$，
在△DMP和△FNP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPM=∠FPN}\\{PD=PF}\\{∠PDM=∠PFN}\end{array}\right.$
∴△DMP≌△FNP（ASA），
∴DM=FN，则BM=EN，
∴$\frac{BM}{DM}$=$\frac{EN}{FN}$，
∵$\frac{CD}{AD}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{5}{2}$，
又AC=BC，
∴$\frac{BC}{CD}$=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{EN}{FN}$=$\frac{5}{2}$，
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质及正方形的性质、角平分线的性质等知识的综合应用．在（1）中连接BE构造相似三角形是解题的关键，在（2）中证得PC垂直平分AB是解题的关键．本题目综合性质较强，考查知识点较多，难度较大，特别是在复杂图形中寻找出相似三角形，更是考查了对知识的熟练掌握．