Question

如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转α解（0°＜α＜90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，过点M作MN∥DE交AE于点N，连接NC，设BC=4，BM=x，△MNC的面积为S_△MNC，△ABC的面积为S_△ABC。

（1）求证：△MNC是直角三角形；
（2）试求用x表示S_△MNC的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，
①当直线AD与⊙N相切时，试探求S_△MNC与S_△ABC之间的关系；
②当S_△MNC=S_△ABC时，试判断直线AD与⊙N的位置关系，并说明理由。

Answer 1

解：（1）MN∥DE，
∴，
又∵AD=AB，AE=AC，
∴，
又∵∠BAM=∠CAN，
∴△ABM∽△ACN，
∴∠B=∠NCA，
∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°，
∴∠MCN=90°，即△MNC是直角三角形；
（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=4，
∴AC=2，AB=2，
∴△ABM∽△ACN，
∴，
∴，
∴；
（3）①直线AD与⊙N相切时，则AN=NC，
∵△ABM∽△ACN，
∴，
∴AM=MB，
∵∠B=30°，
∴∠α=30°，∠AMC=60°，
又∵∠ACB=90°-30°=60°，
∴△AMC是等边三角形，
∴AM=MC=BM=2，
∴，
又∵，
∴；
②当时，
∴则有，解得x=1或x=3；
（i）当x=1时，在Rt△MNC中，MC=4-x=3，
∴，
在Rt△AMN中，∠AMN=30°，
∴，
∵，即AN＞NC，
∴直线AD与⊙相离；
（ii）当x=3时，同理可求出，NC=，MC=1，MN=2，AN=1，
∴NC＞AN，
∴直线AD与⊙相交。