Question

如图，菱形ABCD的周长为24cm，∠A=120°，E是BC边的中点，P是BD上的动点，则PE﹢PC的最小值是

 

．

Answer 1

分析：先求出菱形各边的长度，作点E关于直线BD的对称点E′，连接CE′交BD于点P，则CE′的长即为PE﹢PC的最小值，由菱形的性质可知E′为AB的中点，由直角三角形的判定定理可得出△BCE′是直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的长．

解答：解：∵菱形ABCD的周长为24cm，
∴AB=BC=

24

4

=6cm，
作点E关于直线BD的对称点E′，连接CE′交BD于点P，则CE′的长即为PE﹢PC的最小值，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD是∠ABC的平分线，
∴E′在AB上，由图形对称的性质可知，BE=BE′=

1

2

BC=

1

2

×6=3，
∵BE′=BE=

1

2

BC，
∴△BCE′是直角三角形，
∴CE′=

BC2-BE′2

=

62-32

=3

3

，
故PE﹢PC的最小值是3

3

．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质、直角三角形的判定定理，根据轴对称的性质作出图形是解答此题的关键．