在矩形ABCD中.AB=4.BC=8.经过对角线交点O的直线EF绕点O旋转.分别交AD.BC于点E.F.连接AF.CE．.依据下列条件在普通四边形.梯形.普通平行四边形.矩菱形或正方形中选择填空:旋转过程中四边形AFCE始终为平行四边形,当点E为AD的中点时四边形AFCE为平行四边形,当EF⊥AC时四边形AFCE为菱形,.当EF⊥AC时.求AF的长,的基础上.若动点P从A� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，经过对角线交点O的直线EF绕点O旋转，分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．
（1）如图（1），依据下列条件在普通四边形、梯形、普通平行四边形、矩菱形或正方形中选择填空：旋转过程中四边形AFCE始终为平行四边形；
当点E为AD的中点时四边形AFCE为平行四边形；
当EF⊥AC时四边形AFCE为菱形；
（2）如图（1），当EF⊥AC时，求AF的长；
（3）如图（2），在（2）的基础上，若动点P从A点出发，沿A→F→B→A运动一周停止，速度为每秒5厘米；同时点Q从C点出发，沿C→D→E→C运动一周停止，速度为每秒4厘米，在P、Q运动过程中，第几秒时，四边形APCQ是平行四边形？

分析（1）由AAS证明△AOE≌△COF，得出AE=CF，即可得出四边形AFCE为平行四边形；当点E为AD的中点时，四边形AFCE为平行四边形；当EF⊥AC时，得出四边形AFCE为菱形．
（2）根据勾股定理得出方程，解方程即可求AF的长；
（3）分情况讨论可知，P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．

解答解：（1）当点E为AD的中点时，四边形AFCE为平行四边形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠ACB}&{\;}\\{∠AEF=∠CFE}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF．
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE为平行四边形；
当点E为AD的中点时，AE=CF，AE∥CF，
则四边形AFCE为平行四边形；
当EF⊥AC时，四边形AFCE为菱形，理由如下：
∵由①知四边形AFCE为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形；
故答案为：平行四边形；平行四边形；菱形．

（2）解：设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴AF=5；

（3）解：根据题意得，P点AF上时，Q点CD上，此时A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点AB上时，Q点DE或CE上，也不能构成平行四边形．
∴只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，
PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=12-4t，
∴5t=12-4t，
解得：t=$\frac{4}{3}$，
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=$\frac{4}{3}$秒．