Question

6．如图，一副直角三角板△ABC和△DEF，已知BC=DF，EF=2DE．
（1）直接写出∠B，∠C，∠E，∠F的度数的度数；
（2）将△ABC和△DEF放置像图2的位置，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上，△ABC固定不动，将△DEF绕点D逆时针旋转至EF∥CB（如图2），求△DEF旋转的度数；并通过计算判断点A是否在EF上；
（3）在图3的位置上，△DEF绕点D继续逆时针旋转至DE与BC重合，在旋转过程中，两个三角形的边是否存在平行关系？若存在直接写出旋转的角度和平行关系，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角板的直接可求得答案；
（2）由EF∥BC，可求得∠FDC的角度，可求得旋转角；过D作DG⊥EF于点G，可求得DG=$\frac{1}{2}$DF，AD=$\frac{1}{2}$BC，可得到DG=AD，可得出结论；
（3）分DF∥AB、DE∥AC和EF∥AB三种情况，可分别求得相应的旋转角．

解答 解：
（1）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，
由题可知△DEF为含30°角的三角板，
∵EF=2DE，
∴∠E=60°，∠F=30°；
（2）旋转的角度为30°，理由如下：
如图1，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，

∴AD=$\frac{1}{2}$BC，
在△DEF中，过D作DG⊥EF，垂足为G，在Rt△DFG中，∠F=30°，
∴DG=$\frac{1}{2}$DF，
∵BC=DF，
∴DG=AD，
∴当EF∥BC时，点A在EF上；
（3）存在．
如图2，当DF∥AB时，则∠FDC=∠B=45°，

∵∠EDF=90°，
∴∠EDB=45°=∠C，
∴此时DE∥AC；
如图3，当EF∥AB时，则∠AHD=∠E=60°，

∴∠EDB=∠AHD-∠B=60°-45°=15°，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDC=75°，
综上可知当旋转角为45°时有DE∥AC和DF∥AB，当旋转角为75°时，有EF∥AB．

点评 本题为几何变换的综合应用，涉及知识点有直角三角形的性质、旋转的性质、平行线的性质等．在（2）中利用直角三角形的性质求得AD=DG是解题的关键，在（3）中考虑平行的所有可能是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．