Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）的顶点为，等腰直角三角形的定点的坐标为，的坐标为，直角顶点在第四象限.

（1）如图，若该抛物线过 ，两点，求该抛物线的函数表达式；（3分）

（2）平移（1）中的抛物线，使顶点在直线上滑动，且与交于另一点.

i）若点在直线下方，且为平移前（1）中抛物线上的点，当以

三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求所有符合条件的点的坐标；（4分）

ii）取的中点，连接.试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由. （2分）

Answer 1

解（1）A(0,-1)  C(4,3) 

            则｜AC｜=

ABC为等腰直角三角形 ∴AB=BC=4

∴B点(4,-1)将A,B代入抛物线方程有

⇒

∴…………………………………..3

（2）当顶点P在直线AC上滑动时，平移后抛物线与AC另一交点Q就是A点沿直线AC滑动同样的单位。

  原抛物线

∴顶点P为(2,1)

设平移后顶点P为(a,a-1),

则平移后抛物线

联立y=x-1(直线AC方程)   得Q点为（a-2,a-3）∴｜PQ｜=

 即实际上是线段AP在直线AC上的滑动.

 ⅰ）点M在直线AC下方，且M,P,Q构成等腰直角三角形，

那么先考虑使MP,Q构成等腰直角三角形的M点的轨迹，

再求其轨迹与抛物线的交点以确定M点.

①     若∠M为直角，

则M点轨迹即为AC下方距AC为MH且与AC平行的直线l

   又知｜PQ｜= ，则｜MH｜=  ｜PM｜=2

直线l即为AC向下平移｜PM｜=2个单位 L:y=x-3  联立

得x=1± M点为（1+，-2）或（1-，--2）…………………………5

②     若∠P=或∠Q为直角，即PQ为直角边，MQ⊥PQ且，MQ=PQ=

或MP⊥PQ,且MP=PQ=,∴M点轨迹是AC下方距AC为且与AC平行直线L

直线L即为AC向下平移｜MP｜=4个单位L:y=x-5联立

得x=4或x=-2∴M点为(4,-1)或（-2，-7）

综上所有符合条件的点M为（1+，-2）（4,-1）；

（1-，--2）,（-2，-7）…………………7

ⅱ)(特别说明：解答中的M都应该换成F)

知PQ=  有最大值，即NP+BQ有最小值

如下图，取AB中点F，连结QF,NF,知N为中点∴FN为AC边中位线，∴FN∥AC且FN=AC==PQ∴ ∴FNPQ为平行四边形

即PN=QF   ∴QB+PN=BQ+FQ   此时，作B点关于AC对称的点B′,连,

交AC于点H，易知=BQ

∴BQ+PN=+FQ≥(三角形两边之和大于第三边)仅当Q与H重合时，取等号

即BQ+PN最小值存在 且最小值为连结知为等腰直角三角形。

=4，AF=AB=2  ∴由勾股定理得

∴最大值存在，且最大值为  ………………9