Question

已知两直线l₁，l₂分别经过点A(1，0)，点B(－3，0)，并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l₁⊥l₂，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l₂交于点K，如图所示．

(1)求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；

(2)抛物线的对称轴被直线l₁，抛物线，直线l₂和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由．

(3)当直线l₂绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解法1：由题意易知：△BOC∽△COA 　　∴，即 　　∴ 　　∴点C的坐标是(0，) 　　由题意，可设抛物线的函数解析式为 　　把A(1，0)，B(，0)的坐标分别代入，得 　　 　　解这个方程组，得 　　∴抛物线的函数解析式为 　　解法2：由勾股定理，得 　　又∵OB＝3，OA＝1，AB＝4 　　∴ 　　∴点C的坐标是(0，) 　　由题意可设抛物线的函数解析式为，把C(0，)代入 　　函数解析式得 　　所以，抛物线的函数解析式为 　　(2)解法1：截得三条线段的数量关系为KD＝DE＝EF 　　理由如下： 　　可求得直线的解析式为，直线的解析式为 　　抛物线的对称轴为直线 　　由此可求得点K的坐标为(，)，点D的坐标为(，)，点E的坐标为(，)，点F的坐标为(，0) 　　∴KD＝，DE＝，EF＝ 　　∴KD＝DE＝EF 　　解法2：截得三条线段的数量关系为KD＝DE＝EF 　　理由如下： 　　由题意可知Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∠CAB＝60°，则可得 　　，， 　　由顶点D坐标(，)得 　　∴KD＝DE＝EF＝ 　　(3)解法1：(i)以点K为圆心，线段KC长为半径画圆弧，交抛物线于点，由抛物线对称性可知点为点C关于直线的对称点 　　∴点的坐标为(，)，此时△为等腰三角形 　　(ii)当以点C为圆心，线段CK长为半径画圆弧时，与抛物线交点为点和点A，而三点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形 　　(iii)作线段KC的中垂线l，由点D是KE的中点，且，可知l经过点D，∴KD＝DC 　　此时，有点即点D坐标为(，)，使△为等腰三角形； 　　综上所述，当点M的坐标分别为(，)，(，)时，△MCK为等腰三角形． 　　解法2：当点M的坐标分别为(，)，(，)时，△MCK为等腰三角形． 　　理由如下： 　　(i)连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为(，) 　　又∵点C的坐标为(0，)，则GC∥AB 　　∵可求得AB＝BK＝4，且∠ABK＝60°，即△ABK为正三角形 　　∴△CGK为正三角形 　　∴当与抛物线交于点G，即∥AB时，符合题意，此时点的坐标为(，) 　　(ii)连接CD，由KD＝，CK＝CG＝2，∠CKD＝30°，易知△KDC为等腰三角形 　　∴当过抛物线顶点D时，符合题意，此时点坐标为(，) 　　(iii)当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM＝CK，但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形 　　综上所述，当点M的坐标分别为(，)，(，)时，△MCK为等腰三角形．