Question

已知两直线l₁，l₂分别经过点A（3，0），点B（-1，0），并且当两直线同时相交于y负半轴的点C时，恰好有l₁⊥l₂，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l₂交于点D，如图所示．
（1）求证：△AOC∽△COB；
（2）求出抛物线的函数解析式；
（3）当直线l₁绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°）时，它与抛物线的另一个交点为P（x，y），求四边形APCB面积S关于x的函数解析式，并求S的最大值；
（4）当直线l₁绕点C旋转时，它与抛物线的另一个交点为E，请找出使△ECD为等腰三角形的点E，并求出点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用两角对应相等两三角形相似即可判定两三角形相似；
（2）利用求得的相似三角形的对应边的比相等得到线段OC的长即可求得点C的坐标，利用待定系数法求得二次函数的解析式即可；
（3）利用S=S_△OBC+S△_AOP+S_△COP即可求得S与x之间的函数关系；
（4分以点D为圆心，线段DC长为半径画圆弧，交抛物线于点E₁、当以点C为圆心，线段CD长为半径画圆弧时，与抛物线交点为点E₁和点B、作线段DC的中垂线l，交CD于点M，交抛物线于点E₂，E₃，三种情况求得点E的坐标即可．

解答：解：（1）∵l₁⊥l₂，
∴∠BCO+∠ACO=90°，
∵∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠OBC=∠OCA
∵∠BOC=∠AOC=90°
∴BOC∽△COA；

（2）由△BOC∽△COA 得

CO

BO

=

AO

CO

，即

CO

3

=

1

CO

∴CO=

3

∴点C的坐标是（0，-

3

）；
由题意，可设抛物线的函数解析式为y=ax²+bx-

3

把A（3，0），B（-1，0）的坐标分别代入y=ax²+bx-

3

，得

a-b+ 3 =0 9a-3b- 3 =0

，
解这个方程组，得

a= 3 3 b=- 2 3 3

∴抛物线的函数解析式为y=

3

3

x2-

2 3

3

x-

3

；

（3）S=S_△OBC+S△_AOP+S_△COP
=

1

2

OB•CO+

1

2

×OA（-y）+

1

2

CO•x
=

3

2

-3[

3

3

（x²-2x-3）×2]+

3 x

2

=-

3

2

x²+

3 3

2

x+2

3

（0＜x＜

3

）
当x=

3

2

属于（0＜x＜3）时，S的最大值是

25 3

8

；

（4）可求得直线l₁的解析式为y=

3

3

x-

3

，直线l₂的解析式为y=-

3

x-

3

抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线顶点的坐标为（1，-

4 3

3

）
由此可求得点D的坐标为（1，-2

3

），
（i）以点D为圆心，线段DC长为半径画圆弧，交抛物线于点E₁，由抛物线对称性可知点E₁为点C关于直线x=1的对称点
∴点E₁的坐标为（2，-

3

），此时△E₁CD为等腰三角形；
（ii）当以点C为圆心，线段CD长为半径画圆弧时，与抛物线交点为点E₁和点B，而三点B、C、D在同一直线上，不能构成三角形；
（iii）作线段DC的中垂线l，交CD于点M，交抛物线于点E₂，E₃，交y轴于点F
因为OB=1，CO=

3

，所以∠MCF=∠D=∠OCB=30°，CM=

1

2

CD=1
可求得CF=

2 3

3

，OF=

5 3

3

因为直线l与l₁平行，所以直线l的解析式为y=

3

3

x-

5 3

3

所以 

y= 3 3 x- 5 3 3 y= 3 3 (x2-2x-3)

解得x=1，或x=2，
说明E₂就是顶点（1，-

4 3

3

），E₃就是E₁（2，-

3

），
综上所述，当点E的坐标分别为（2，-

3

），（1，-

4 3

3

）时，△DCE为等腰三角形．

点评：本题考查了二次函数的应用，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和四边形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．