Question

如图，已知点D为等边△ABC中AC边上一点，点E为AB边上一点，且CD=AE．过点E作EF⊥BD于点F，BD与CE交于点P．求证：PF=

1

2

PE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,含30度角的直角三角形

专题：证明题

分析：由三角形ABC为等边三角形得到AC=BC，且∠A=∠ACB=60°，再有AE=CD，利用SAS得到三角形AEC与三角形CDB全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠CBD，再有∠ACB=∠ACE+∠ECB=60°，等量代换及利用外角性质得到∠EPB=60°，进而确定出∠PEF为30°，在直角三角形PEF中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半即可得证．

解答：证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，
在△AEC和△CDB中，

AE=CD ∠A=∠ACB=60° AC=CB

，
∴△AEC≌△CDB（SAS），
∴∠ACE=∠CBD，
∵∠ACE+∠ECB=60°，
∴∠CBD+∠ECB=60°，
∵∠EPB为△PBC的外角，
∴∠EPB=60°，
∴在Rt△EFP中，∠PEF=30°，
则PF=

1

2

PE．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．