Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A、B，且A（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．
（1）直接写出点B的坐标，并求此抛物线的函数解析式；
（2）用配方法将抛物线y=x²+bx+c化成顶点式；
（3）设D为抛物线的顶点，P为抛物线上一点，若S_△ABP=2S_ABD，求P点的坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）根据抛物线的对称性直接写出点B的坐标；利用对称轴方程来求b的值；把点A的坐标代入函数关系式来求c的值；
（2）利用配方法来变换抛物线解析式；
（3）由三角形的面积公式入手来求点P的坐标．

解答：解：（1）如图，∵A（1，0），对称轴为直线x=2，
∴B（3，0）．-

b

2

=2，
则b=-4．
把点A（1，0）代入函数解析式，得
0=1-4+c，
解得c=3．
故抛物线的解析式为y=x²-4x+3；

（2）y=x²-4x+3=x²-4x+4-4+3=（x-2）²-1，即抛物线的顶点式方程为y=（x-2）²-1；

（3）由（2）中的函数关系得到：D（2，-1）．
∵S_△ABP=2S_ABD，
∴点P的纵坐标是2．
把y=2代入函数解析式，得
2=（x-2）²-1，
解得 x=2±

3

．
则点P的坐标为：（2+

3

，2），（2-

3

，2）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象的性质等．解题时，注意数形结合．