Question

16．如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，连接AC、BD、AD、BC交于点Q．
（1）若∠DAB=40°，求∠CAD的大小；
（2）若CA=10，CB=16，求CQ的长．

Answer 1

分析 （1）先根据∠DAB=40°求出$\widehat{BD}$的度数，进而可得出$\widehat{AD}$的度数，由点C是弧AD的中点求出$\widehat{CD}$的度数，由弧与圆周角的关系即可得出结论；
（2）根据$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$可得出∠CAQ=∠CBA，故可得出△ACQ∽△BCA，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．

解答 解：（1）∵∠DAB=40°，
∴$\widehat{BD}$=80°，
∴$\widehat{AD}$=180°-80°=100°．
∵点C是弧AD的中点，
∴$\widehat{CD}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{AD}$=50°，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$$\widehat{CD}$=25°；

（2）∵点C是弧AD的中点，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠CAQ=∠CBA．
∵∠ACQ=∠BCA，
∴△ACQ∽△BCA，
∴$\frac{CQ}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，即CQ=$\frac{AC•AC}{BC}$=$\frac{10×10}{16}$=$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．