Question

如图，⊙O的半径为2，直径CD经过弦AB的中点G，∠ADC=75°．
（1）填空：cos∠ACB=

 

；
（2）求OG的长．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,圆周角定理,特殊角的三角函数值

专题：

分析：（1）先根据圆周角定理得出∠ABC=∠ADC=75°，再由垂径定理得出

AD

=

BD

，故

AC

=

BC

，由此可得出∠BAC的度数，由三角形内角和定理可得出结论；
（2）连接OA，根据直角三角形的性质求出∠ACG的度数，由圆周角定理求出∠AOG的度数，根据直角三角形的性质可得出结论．

解答：解：（1）∵∠ADC=75°，
∴∠ABC=∠ADC=75°．
∵直径CD经过弦AB的中点G，
∴

AD

=

BD

，
∴

AC

=

BC

，
∴∠BAC=∠ABC=75°，
∴∠ACB=180°-75°-75°=30°，
∴cos∠ACB=cos30°=

3

2

．
故答案为：

3

2

；

（2）连接OA，
∵直径CD经过弦AB的中点G，
∴AB⊥CD．
∵∠BAC=75°，
∴∠ACG=90°-75°=15°，
∴∠AOG=30°．
∵OA=2，
∴OG=OA•cos30°=2×

3

2

=

3

．

点评：本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．