Question

5．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若EH=2，AH=6，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明BD是⊙O的切线，只要证明AB⊥BD即可；
（2）只要证明△CEH∽△AEC，可得$\frac{CE}{EA}$=$\frac{EH}{CE}$，推出CE²=EH•EA=16，由此即可解决问题；

解答 解：（1）∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，
∴∠ODB=∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD=90°，
∴∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线

（2）连接AC，∵OF⊥BC，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠ECB=∠CAE，又∵∠HEC=∠CEA，
∴△CEH∽△AEC，
∴$\frac{CE}{EA}$=$\frac{EH}{CE}$，
∴CE²=EH•EA=16，
∴CE=4

点评 本题考查切线的判定和性质、勾股定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形解决问题．