Question

已知：∠MAN＝60°，点B在射线AM上，AB＝4(如图)．P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ(点B，P，Q按顺时针排列)，O是△BPQ的外心．

(1)当点P在射线AN上运动时，求证：点O在∠MAN的平分线上；

(2)当点P在射线AN上运动(点P与点A不重合)时，AO与BP交于点C，设AP＝x，AC·AO＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

(3)若点D在射线AN上，AD＝2，圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离．

Answer 1

答案：
解析：

(1) 　　证明：如图，连结， 　　是等边三角形的外心，，　　　　1分 　　圆心角． 　　当不垂直于时，作，，垂足分别为． 　　由，且， 　　，． 　　．　　　　1分 　　．　　　　1分 　　．点在的平分线上．　　　　1分 　　当时，． 　　即，点在的平分线上． 　　综上所述，当点在射线上运动时，点在的平分线上． 　　(2) 　　解：如图， 　　平分，且， 　　．　　　　1分 　　由(1)知，，， 　　，． 　　，．　　　　1分 　　． 　　．．．　　　　1分 　　定义域为：．　　　　1分 　　(3)解：①如图，当与圆相切时，；　　　　2分 　　②如图，当与圆相切时，；　　　　1分 　　③如图，当与圆相切时，．　　　　2分