Question

已知：A、B、C不在同一直线上．

(1)若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，

A、B、C如图一，当∠A＝45°时，R＝1，求∠BOC的度数和BC的长度；

Ⅱ．如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A＝；

(2)若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN(B、C均与点A不重合)滑动，如图三，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)．① 　　∠BOC＝90°(同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半)； 　　由勾股定理可知BC＝＝ 　　(提示：也可延长BO或过点O作BC边的垂线段) 　　②证明：可连接BO并延长，交圆于点E，连接EC． 　　可知EC⊥BC(直径所对的圆周角为90°) 　　且∠E＝∠BAC(同弧所对的圆周角相等) 　　故sin∠A＝． 　　(2)保持不变． 　　可知△CQP∽△BQA，且∠AQP＝∠BQC，所以△BCQ∽△APQ； 　　即；AP＝＝(为定值)． 　　故保持不变．