Question

9．求证：$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{（ab+1）^{2}}}$=|a+$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{ab+1}$|．

Answer 1

分析 根据完全平分公式，再利用二次根式的性质，进行解答即可．

解答 解：∵$（a+\frac{1}{b}-\frac{1}{ab+1}）^{2}$
=${a}^{2}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{（ab+1）^{2}}$+2[$\frac{a}{b}-\frac{{a}^{2}}{ab+1}-\frac{a}{b（ab+1）}$]
=${a}^{2}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{（ab+1）^{2}}$+2[$\frac{a（ab+1）-{a}^{2}b-{a}^{\;}}{b（ab+1）}$]
=${a}^{2}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{（ab+1）^{2}}$
∴$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{{a}^{2}}{（ab+1）^{2}}}$=|a+$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{ab+1}$|．

点评 本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是利用完全平分公式进行证明．