题目内容
如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2，DC=10，AD=BC=5，点M、N分别在AD、BC上运动，并保持M
N∥AB，ME⊥DC，NF⊥DC，垂足分别为E、F．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由；
（3）探究二：四边形MNFE能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由．
N∥AB，ME⊥DC，NF⊥DC，垂足分别为E、F．（1）求梯形ABCD的面积；
（2）探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由；
（3）探究二：四边形MNFE能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由．
（1）如图，
过点A作AG⊥CD于G，过B作BQ⊥DC于Q，
则AG∥BQ，
∵AB∥DC，
∴四边形AGQB是平行四边形，
∴AB=GQ=2，AG=BQ，
由勾股定理得：DG=
，CQ=
，
∵AD=BC，AG=BQ，
∴DG=CQ=（10-2）÷2=4，
在Rt△ADG中，AG=
=
=3，
∴S梯形ABCD=（2+10）×3÷2=18；
（2）设MN=x，AG与MN交于点O，
∵MN∥CD，
∴△AMO∽△ADG，
∴MO：DG=AO：AG，
即
：
=AO：3，
∴AO=
，
∴OG=3-
=
，
∴S矩形MNFE=x•
=
x-
x2，
∵二次项系数小于0，
∴当x=5时，四边形MNFE的面积有最大值：[4×（-
）×0-（
）2]÷[4×（-
）]=
；
（3）当MN=ME时，四边形MNFE能为正方形．
由（2）可得，ME=OG=
，
则=
=x，
解得x=
，
此时，正方形MNFE的面积为：（
）2=
．
过点A作AG⊥CD于G，过B作BQ⊥DC于Q，
则AG∥BQ，
∵AB∥DC，
∴四边形AGQB是平行四边形，
∴AB=GQ=2，AG=BQ，
由勾股定理得：DG=
| AD2-AG2 |
| BC2-BQ2 |
∵AD=BC，AG=BQ，
∴DG=CQ=（10-2）÷2=4，
在Rt△ADG中，AG=
| AD2-DG2 |
| 52-42 |
∴S梯形ABCD=（2+10）×3÷2=18；
（2）设MN=x，AG与MN交于点O，
∵MN∥CD，
∴△AMO∽△ADG，
∴MO：DG=AO：AG，
即
| x-2 |
| 2 |
| 10-2 |
| 2 |
∴AO=
| 3x-6 |
| 8 |
∴OG=3-
| 3x-6 |
| 8 |
| 30-3x |
| 8 |
∴S矩形MNFE=x•
| 30-3x |
| 8 |
| 15 |
| 4 |
| 3 |
| 8 |
∵二次项系数小于0，
∴当x=5时，四边形MNFE的面积有最大值：[4×（-
| 3 |
| 8 |
| 15 |
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 75 |
| 8 |
（3）当MN=ME时，四边形MNFE能为正方形．
由（2）可得，ME=OG=
| 30-3x |
| 8 |
则=
| 30-3x |
| 8 |
解得x=
| 30 |
| 11 |
此时，正方形MNFE的面积为：（
| 30 |
| 11 |
| 900 |
| 121 |
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