Question

18．已知抛物线C₁：y=ax²+bx+c与x轴交于A（-2，0）、B（6，0），与y轴交于C（0，-3）．
（1）求二次函数解析式；
（2）将抛物线C₁向上平移3个单位，得到图象C₂，将C₂在x轴下方的部分沿x轴翻折，将得到的图象记为C₃，若直线l：y=2x+t与C₃恰有两个交点，试求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）已知函数经过A（-2，0），B（6，0），可设抛物线解析式的交点式，即y=a（x+2）（x-6），再把C（0，-3）代入，可求a，从而确定抛物线解析式；
（2）求出两个边界点，继而可得出t的取值范围．

解答 解：（1）根据已知A（-2，0），B（6，0）两点坐标，
可设函数的解析式y=a（x+2）（x-6），
把点C（0，-3）坐标代入，得：
-3=a×2×（-6），
解得a=$\frac{1}{4}$，
∴函数解析式是y=$\frac{1}{4}$（x+2）（x-6），
即y=$\frac{1}{4}$x²-x-3；

（2）由C₁：y=$\frac{1}{4}$x²-x-3=$\frac{1}{4}$（x-2）²-4得到图象C₂的解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-2）²-1，图象C₃的解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1，
令-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1=0，
解之得：x₁=0，x₂=4，
故P，Q两点的坐标分别为P（0，0），Q（4，0）．
如图，当直线y=2x+t，
经过P点时，可得t=0，
当直线y=2x+t经过Q点时，
可得t=-8，
∴t的取值范围为-8＜t＜0，
翻折后的二次函数解析式为二次函数y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1
当直线y=2x+t与二次函数y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1的图象只有一个交点时，
2x+t=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1，
整理得：x²+4x+4t=0，
△=b²-4ac=16-4×（4t）=-16t+16=0，
解得：t=1，
∴t的取值范围为：＞1，
由图可知，符合题意的n的取值范围为：t＞1或-8＜t＜0．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换，关键是求出直线y=2x+t经过点P、Q时t的值．同时考查了数形结合的思想．