Question

【题目】阅读下面的例题及点拨，补全解题过程（完成点拨部分的填空），并解决问题：例题：如图1，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°

点拨：如图2，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连结EM，易证△ABM≌△EBM（　 　），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠　 　＝∠　 　；

由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠　 　．

又因为∠2+∠6＝120，所以∠5+∠6＝120°，所以∠AMN＝60°．

问题：如图3，四边形ABCD的四条边都相等，四个角都等于90°，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是四边形ABCD的外角∠DCH的平分线上一点，且AM＝MN．求∠AMN的度数．

Answer 1

【答案】点拨：SAS，3，4，5．问题：∠AMN＝90°．

【解析】

点拨:根据全等知识及角度转换补全证明过程即可；问题：延长AB至E，使EB＝AB，连接EM、EC，则EB＝BC，∠EBM＝∠ABM＝90°，得出△EBC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠BEC＝∠BCE＝45°，证出∠BCE+∠MCN＝180°，得出E、C、N，三点共线，由SAS证明△ABM≌△EBM得出AM＝EM，∠1＝∠2，得出EM＝MN，由等腰三角形的性质得出∠3＝∠4，证出∠1＝∠2＝∠5，得出∠5+∠6＝90°，即可得出结论．

解：点拨：如图2，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连结EM，易证△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；

由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5．

又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，所以∠AMN＝60°．

问题：延长AB至E，使EB＝AB，连接EM、EC，如图所示：

则EB＝BC，∠EBM＝∠ABM＝90°，

∴△EBC是等腰直角三角形，

∴∠BEC＝∠BCE＝45°，

∵N是正方形ABCD的外角∠DCH的平分线上一点，

∴∠MCN＝90°+45°＝135°，

∴∠BCE+∠MCN＝180°，

∴E、C、N，三点共线，

在△ABM和△EBM中，，

∴△ABM≌△EBM（SAS），

∴AM＝EM，∠1＝∠2，

∵AM＝MN，

∴EM＝MN，

∴∠3＝∠4，

∵∠2+∠3＝45°，∠4+∠5＝45°，

∴∠1＝∠2＝∠5，

∵∠1+∠6＝90°，

∴∠5+∠6＝90°，

∴∠AMN＝180°﹣90°＝90°．