Question

9．已知：AD是ABC的边BC上的高，AE是△ABC的外接圆的直径．
（1）求证：△ADB∽△ACE；
（2）已知AB=3，AC=4，AD=2，求AE．

Answer 1

分析 （1）由AD是ABC的边BC上的高得到∠ADB=90°，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，∠B=∠AEC，于是根据相似三角形的判定方法可判断△ADB∽△ACE；
（2）由于△ADB∽△ACE，则可根据相似比求出AE的长．

解答 （1）证明：∵AD是ABC的边BC上的高，
∴∠ADB=90°，
∵AE是△ABC的外接圆的直径，
∴∠ACE=90°，
∵∠B=∠AEC，∠ADB=∠ACE，
∴△ADB∽△ACE；
（2）解：∵△ADB∽△ACE，
∴AD：AC=AB：AE，即2：4=3：AE，
∴AE=6．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算相应线段的长．解决本题的关键圆周角定理的应用．