题目内容
如图，在△PAB中，点C、D在边AB上，PC=PD=CD，∠APB=120°．（1）试说明△APC与△PBD相似．
（2）自习课上聪聪在完成课本101页这道习题时作出如下猜想：若CD=1，AC=x，BD=y其余条件不变，那么y与x肯定会存在某种函数关系式，请你求出这种函数关系式．
（3）明明在聪聪猜想的基础上又作出如下猜想：若PC=PD=1，∠CPD=α，∠APB=β，只要α与β满足某种关系，（2）中的函数关系式仍然成立．你同意明明的观点吗？如果你同意请直接写出α与β所满足的关系；若不同意，请说明理由．
分析：（1）根据PC=PD=CD，得∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，则∠ACP=∠BDP=120°，可证明∠A=∠BPD，从而证得△APC与△PBD；
（2）由（1）得
=
，则
=
（7分），从而得出y与x的函数关系式；
（3）根据题意仍可得出（2）中的函数关系式，则同意这种说法．
（2）由（1）得
| AC |
| PC |
| PD |
| BD |
| x |
| 1 |
| 1 |
| y |
（3）根据题意仍可得出（2）中的函数关系式，则同意这种说法．
解答：解：（1）∵PC=PD=CD，
∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，
∴∠ACP=∠BDP=120°，
∵∠A+∠APC=60°，∠APC+∠BPD=∠APB-∠CPD=120°-60°=60°，
∴∠A=∠BPD，
∴△APC∽△PBD；
（2）由（1）得
=
，
∴
=
，
∴y=
（x＞0）；
（3）同意．
2β-α=180°．
∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，
∴∠ACP=∠BDP=120°，
∵∠A+∠APC=60°，∠APC+∠BPD=∠APB-∠CPD=120°-60°=60°，
∴∠A=∠BPD，
∴△APC∽△PBD；
（2）由（1）得
| AC |
| PC |
| PD |
| BD |
∴
| x |
| 1 |
| 1 |
| y |
∴y=
| 1 |
| x |
（3）同意．
2β-α=180°．
点评：本题是一道综合题，考查了相似三角形的判定和性质，以及函数解析式的确定，是中考压轴题．
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