Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F。
（1）若AC=6，AB=10，求⊙O的半径；
（2）连接OE、ED、DF、EF，若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．

Answer 1

解：（1）连接OD，设⊙O的半径为r，
∵BC切⊙O于点D，
∴OD⊥BC，
∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC，
∴，
即，
解得r=，
∴⊙O的半径为；
（2）四边形OFDE是菱形，
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠B，
∵∠DEF=∠DOB，
∴∠B=∠DOB，
∵∠ODB=90°，
∴∠DOB+∠B=90°，
∴∠DOB=60°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE=60°，
∵OD=OE，
∴△ODE是等边三角形，
∴OD=DE，
∵OD=OF，
∴DE=OF，
∴四边形OFDE是平行四边形，
∵OE=OF，
∴平行四边形OFDE是菱形。