Question

如图，在?ABCD中，AB=12cm，AD=6cm，∠BAD=60°，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A-B-C运动，点Q从点A出发，以acm/s的速度沿A-D-C运动，点P、Q从A点同时出发，当其中一点到达点C时，另一点也停止运动，设运动的时间为t．s．
（1）求证：BD⊥AD．
（2）若a=1，以点P为圆心，PB为半径画⊙P，以点Q为圆心，QD为半径画⊙Q，当⊙P和⊙Q相切时，求t的所有可能值．
（3）若在点P、Q运动的过程中总存在t，使PQ∥BD，试求a的值或范围．

Answer 1

考点：圆的综合题,解一元二次方程-因式分解法,等边三角形的判定与性质,勾股定理,平行四边形的性质,相切两圆的性质,相似三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）取AB的中点E，连接DE，可以证明△ADE是等边三角形，从而可以求出∠ADE、∠BDE，进而可以求出∠ADB=90°，即AD⊥BD．
（2）分0＜t＜6和6≤t≤9两种情况讨论，根据相切两圆的性质建立等量关系，就可求出t的值．
（3）①若点Q在AD上，点P在AB上，由两条线平行推出两个三角形相似，进而得到边成比例，即可求出a=1；②若点Q在DC上，点P在BC上，同理可得t=-

18

a-4

．由6＜t＜9得6＜-

18

a-4

＜9，从而解得1＜a＜2．

解答：（1）证明：取AB的中点E，连接DE，如图1所示．
∵AB=12，AD=6，
∴AE=AD=6．
∵∠A=60°，
∴△ADE是等边三角形．
∴DE=AD=AE=6，∠ADE=∠AED=60°．
∴DE=BE．
∴∠EDB=∠EBD．
∴∠EDB=30°．
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD．
（2）解：①当0＜t＜6时，
点Q在AD上，点P在AB上，
此时AQ=t，QD=6-t，AP=2t，PB=12-2t．
∴QD＜PB．
∵

AQ

AD

=

t

6

，

AP

AB

=

2t

12

=

t

6

，
∴

AQ

AD

=

AP

AB

．
∵∠QAP=∠DAB，
∴△AQP∽△ADB．
∴∠AQP=∠ADB=90°．
∵AQ=t，AP=2t，
∴QP=

3

t．
Ⅰ．若⊙Q与⊙P相内切，如图2所示，
则

.

PB-QD

.

=PQ
∵QD＜PB，
∴PB-QD=PQ．
∴（12-2t）-（6-t）=

3

t．
解得：t=3

3

-3．
Ⅱ．若⊙Q与⊙P相外切，如图3所示，
则PB+QD=PQ．
∴（12-2t）+（6-t）=

3

t．
解得：t=9-3

3

．
②当6≤t≤9时，
点Q在DC上，点P在BC上，
此时QD=t-6，CQ=18-t，BP=2t-12．
过点Q作QH⊥BC，垂足为H，连接PQ，如图4所示．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=60°．
∴sin∠QCH=

QH

QC

-=

QH

18-t

=

3

2

．
QH=

3 (18-t)

2

．
同理：CH=

18-t

2

．
∵CP=18-2t，
∴PH=CH-CP=

3t

2

-9．
∵QH⊥BC，即∠PHQ=90°，
∴PQ²=QH²+PH²
=[

3 (18-t)

2

]²+[

3t

2

-9]²
=3t²-54t+324．
Ⅰ．若⊙Q与⊙P相外切，
则PQ=PB+QD=3t-18．
∴PQ²=3t²-54t+324=（3t-18）²．
整理得：t²-9t=0．
解得；t₁=0（舍去），t₂=9．
Ⅱ．若⊙Q与⊙P相内切，
则PQ=

.

PB-QD

.

=

.

(2t-12)-(t-6)

.

=

.

t-6

.

．
∴3t²-54t+324=（t-6）²．
整理得：t²-21t+144=0．
∵21²-4×1×144=-135＜0，
∴方程无实数根．
∴不存在．
综上所述：当⊙Q与⊙P相切时，t的值为3

3

-3、9-3

3

、9．
（3）解：①若点Q在AD上，点P在AB上，PQ∥BD，如图1所示，
此时0＜at＜6，0＜t＜6．
∵PQ∥BD，
∴△APQ∽△ABD．
∴

AP

AB

=

AQ

AD

．
∴

2t

12

=

at

6

．
∴a=1．
此时0＜at＜6，符合要求．
②若点Q在DC上，点P在BC上，PQ∥BD，如图5所示，
此时6＜at＜18，6＜t＜9．
∵PQ∥BD，
∴△CPQ∽△CBD．
∴

CP

CB

=

CQ

CD

．
∴

18-2t

6

=

18-at

12

．
整理得：（a-4）t=-18．
∴t=-

18

a-4

．
∵6＜t＜9，
∴6＜-

18

a-4

＜9．
∴1＜a＜2．
此时1×6＜at＜2×9，即6＜at＜18，符合要求．
综上所述：满足条件的a的范围是1≤a＜2．

点评：本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、两圆相切的性质、勾股定理、解一元二次方程、根的判别式、解不等式等知识，综合性非常强，有一定的难度．