Question

△ABC为⊙O的内接三角形，⊙O的半径为10，AB=AC，BC=8，则S_△ABC=

 

．

Answer 1

分析：作AH⊥BC于H，连结OB，由于AB=AC，根据等腰三角形的性质得BH=CH=

1

2

BC=4，根据垂径定理的推论得到点O在AH上，再利用勾股定理可计算出OH=2

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，然后分类讨论：
当点O在△ABC内部，如图1，AH=AO+OH=10+2

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；当点O在△ABC内部，如图2，AH=AO-OH=10-2

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，最后根据三角形的面积公式分别求解即可．

解答：解：作AH⊥BC于H，连结OB，如图，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=

1

2

BC=4，AH必过圆心，即点O在AH上，
在Rt△OBH中，OB=10，BH=4，
∴OH=

OB2-BH2

=2

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，
当点O在△ABC内部，如图1，AH=AO+OH=10+2

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，
∴S_△ABC=

1

2

×8×（10+2

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）=40+8

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；
当点O在△ABC内部，如图2，AH=AO-OH=10-2

21

，
∴S_△ABC=

1

2

×8×（10-2

21

）=40-8

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．
故答案为40+8

21

或40-8

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．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．