题目内容
以O为圆心，1为半径作圆．△ABC为⊙O的内接正三角形，P为弧AC的三等分点，则PA2+PB2+PC2的值为分析：由以O为圆心，1为半径作圆，△ABC为⊙O的内接正三角形，即可得∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC=BC=
，又由P为弧AC的三等分点，即可得各角的度数，然后根据正弦定理，即可求得PA，PB，PC的值，又由三角函数的性质，即可求得PA2+PB2+PC2的值．
| 3 |
解答：
解：∵以O为圆心，1为半径作圆，△ABC为⊙O的内接正三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC=BC=
，
∴∠APB=∠ACB=60°，∠BPC=∠BAC=60°，
∵P为弧AC的三等分点，
∴∠ABP=
∠ABC=20°，
∴∠PBC=40°，
∴∠PAC=∠PBC=40°，
∴∠PAB=∠BAC+∠PAC=100°，
∵
=
=
，
=
，
∴
=
=
，
=
，
∵
=
=2，
∴PA=2sin20°，PB=2sin100°，PC=2sin40°，
∴PA2+PB2+PC2=4[sin220+sin280+sin240]=4[
+
+
]=4[
-cos（60°-20°）+cos20°-cos（60°+20°）]=6．
故答案为：6．
解：∵以O为圆心，1为半径作圆，△ABC为⊙O的内接正三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC=BC=
| 3 |
∴∠APB=∠ACB=60°，∠BPC=∠BAC=60°，
∵P为弧AC的三等分点，
∴∠ABP=
| 1 |
| 3 |
∴∠PBC=40°，
∴∠PAC=∠PBC=40°，
∴∠PAB=∠BAC+∠PAC=100°，
∵
| PA |
| sin∠ABP |
| PB |
| sin∠PAB |
| AB |
| sin∠APB |
| PC |
| sin∠PBC |
| BC |
| sin∠BPC |
∴
| PA |
| sin20° |
| PB |
| sin100° |
| AB |
| sin60° |
| PC |
| sin40° |
| BC |
| sin60° |
∵
| AB |
| sin60° |
| ||||
|
∴PA=2sin20°，PB=2sin100°，PC=2sin40°，
∴PA2+PB2+PC2=4[sin220+sin280+sin240]=4[
| 1-cos40° |
| 2 |
| 1-cos160° |
| 2 |
| 1-cos80° |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
故答案为：6．
点评：此题考查了圆的内角正三角形的性质，弧的三等分点的性质以及正弦定理等知识．此题难度较大，解题的关键是正确应用正弦定理以及三角函数的性质，注意数形结合思想的应用．
练习册系列答案
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