Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15．sin∠A=

4

5

，点D是BC的中点，点P是AB上一动点（不与点B重合），延长PD至E，使DE=PD，连接EB、EC．
（1）求证；四边形PBEC是平行四边形；
（2）填空：①当AP的值为

 

时，四边形PBEC是矩形；
           ②当AP的值为

 

时，四边形PBEC是菱形．

Answer 1

考点：矩形的判定,平行四边形的判定,菱形的判定

专题：几何图形问题

分析：（1）根据对角线互相平分的四边形为平行四边形证明即可；
（2）①若四边形PBEC是矩形，则∠APC=90°，求得AP即可；
②若四边形PBEC是菱形，则CP=PB，求得AP即可；

解答：解：∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE=PD，
∴四边形PBEC是平行四边形；

（2）①当∠APC=90°时，四边形PBEC是矩形，
∵AC=15．sin∠A=

4

5

，
∴PC=12，
由勾股定理得AP=9，
∴当AP的值为9时，四边形PBEC是矩形；

②∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15．sin∠A=

4

5

，
所以设BC=4x，AB=5x，
则（4x）²+15²=（5x）²，
解得：x=5，
∴AB=5x=25，
当PC=PB时，四边形PBEC是菱形，
此时点P为AB的重点，
所以AP=12.5，
∴当AP的值为12.5时，四边形PBEC是菱形．

点评：本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定，解题的关键是掌握特殊图形的判定以及重要的性质．