Question

1．如图，点D是等边△ABC的边AB上一点，连接CD并以CD为边等边△CDE，连接BE
（1）求证：AD=BE；
（2）过点D作DF⊥BC于点F，连接AF，AF∥DE，AB=3，求线段CF的长度．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，推出△ACD≌△BCE，根据求三角形的性质得到AD=BE；
（2）根据平行线的性质得到∠BAF=∠BDE，推出∠BAF=∠BDE=∠ACD=∠BCE，证得△ABF≌△CBE，由全等三角形的性质得到BF=BE解直角三角形即可得到结论．

解答 （1）证明：∵△ABC，△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°-∠BCD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE；

（2）解：∵AF∥DE，
∴∠BAF=∠BDE，
∵∠BDC=∠BDE+CDE=∠BDE+60°=∠BAC+∠ACD，
∴∠BAF=∠BDE=∠ACD=∠BCE，
在△ABF与△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠BCE}\\{AB=BC}\\{∠ABF=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBE，
∴BF=BE，
∵DF⊥BC，∠ABC=60°，
∴AD=BE=BF=BD•cos∠ABC=$\frac{1}{2}$BD，
∵AB=BC，AD=BF，
∴CF=BD=2BF，
∴CF=$\frac{2}{3}$BC=$\frac{2}{3}$AB=$\frac{2}{3}$×3=2．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．