Question

如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
（1）求改直的公路AB的长（精确到0.1）；
（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米（精确到0.1）？

Answer 1

考点：解直角三角形的应用

专题：

分析：（1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中根据CH=AC•sin∠CAB求出CH的长，由AH=AC•cos∠CAB求出AH的长，同理可得出BH的长，根据AB=AH+BH可得出结论；
（2）根据在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA可得出BC的长，由AC+BC-AB即可得出结论．

解答：解：（1）作CH⊥AB于H．
∵AC=10千米，∠CAB=25°，
∴在Rt△ACH中，CH=AC•sin∠CAB=10•sin25°≈4.23（千米），
AH=AC•cos∠CAB=10•cos25°≈9.06（千米）．
∵∠CBA=37°，
∴在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.23÷tan37°≈5.61（千米），
∴AB=AH+BH=9.06+5.61=14.67≈14.7（千米）．
∴改直的公路AB的长14.7千米；

（2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.23÷sin37°≈7.03（千米），
则AC+BC-AB=10+7.03-14.7≈2.3（千米）．                         
答：公路改直后比原来缩短了2.3千米．

点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．